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矩陣分解全景

矩陣分解已經成為統計學的核心技術(Banerjee和Roy, 2014;、優化(Gill et al., 2021)、機器學習(Goodfellow et al., 2016);而深度學習在很大程度上是由於反向傳播算法在擬合神經網絡和低秩神經網絡在高效深度學習中的發展。本調查的唯一目的是對數值線性代數和矩陣分析中的概念和數學工具進行一個完整的介紹,以便在後續章節中無縫地介紹矩陣分解技術及其應用。然而,我們清楚地認識到,我們無法涵蓋所有關於矩陣分解的有用和有趣的結果,並且給出了這種討論的範圍的缺乏,例如,歐氏空間、厄米特空間和希爾伯特空間的分離分析。我們建議讀者參考線性代數領域的文獻,以獲得相關領域的更詳細介紹。一些優秀的例子包括(Householder, 2006; Trefethen and Bau III, 1997; Strang, 2009; Stewart, 2000; Gentle, 2007; Higham, 2002; Quarteroni et al., 2010; Golub and Van Loan, 2013; Beck, 2017; Gallier and Quaintance, 2017; Boyd and Vandenberghe, 2018; Strang, 2019; van de Geijn and Myers, 2020; Strang, 2021)。最重要的是,本綜述將隻涵蓋矩陣分解方法存在性的緊湊證明。關於如何降低計算複雜度,在各種應用和例子中進行嚴格的討論,為什麼每種矩陣分解方法在實踐中都很重要,以及張量分解的初步研究,請參見(Lu, 2021c)。

矩陣分解是將一個複雜的矩陣分解成其組成部分的一種方法,這些組成部分的形式更簡單。全局矩陣計算方法的基本原則是,它不是業務矩陣的algorithmists解決特定的問題,但這是一個方法,可以簡化更複雜的矩陣運算,可以進行分解的部分而不是原始矩陣本身。

矩陣分解算法可以分為許多類。盡管如此,六個類別占據了中心,我們在這裏概括一下:

  1. 由高斯消去產生的因子分解包括LU分解和它的正定替代- Cholesky分解;
  2. 將矩陣的列或行正交化時得到的因式分解,使數據可以用標準正交基很好地解釋; 3.分解矩陣的骨架,使列或行的一個子集可以在一個小的重構誤差中表示整個數據,同時,矩陣的稀疏性和非負性保持原樣;
  3. 化簡為Hessenberg、三對角或雙對角形式,結果是,矩陣的性質可以在這些化簡矩陣中探索,如秩、特征值等;
  4. 因式分解是計算矩陣特征值的結果;
  5. 特別地,其餘的可以被轉換為一種特殊的分解,其中涉及到優化方法和高級思想,其中類別可能無法直接確定。
"> 如何深入理解矩陣?184頁《矩陣分解與應用》2022新書全麵闡述矩陣分解原理、體係與應用 - 專知VIP

1954年,Alston S. Householder發表了《數值分析原理》,這是矩陣分解的第一個現代處理方法,它支持(塊)LU分解——將矩陣分解為上三角矩陣和下三角矩陣的乘積。而現在,矩陣分解已經成為機器學習的核心技術,這在很大程度上是因為反向傳播算法在擬合神經網絡方麵的發展。本調研的唯一目的是對數值線性代數和矩陣分析中的概念和數學工具進行一個完整的介紹,以便在後續章節中無縫地介紹矩陣分解技術及其應用。然而,我們清楚地認識到,我們無法涵蓋所有關於矩陣分解的有用和有趣的結果,並且給出了這種討論的範圍的缺乏,例如,分離分析歐幾裏德空間、厄米特空間、希爾伯特空間和複域中的東西。我們建議讀者參考線性代數領域的文獻,以獲得相關領域的更詳細介紹。本綜述主要是對矩陣分解方法的目的、意義,以及這些方法的起源和複雜性進行了總結,並闡明了它們的現代應用。最重要的是,本文為分解算法的大多數計算提供了改進的過程,這可能會降低它們所引起的複雜性。同樣,這是一個基於分解的上下文,因此我們將在需要和必要時介紹相關的背景。在其他許多關於線性代數的教科書中,主要思想被討論,而矩陣分解方法是“副產品”。然而,我們將重點放在分解方法上,而主要思想將作為分解方法的基本工具。數學的先決條件是線性代數的第一門課程。除了這個適中的背景,發展是獨立的,提供了嚴格的證據。

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矩陣分解全景

矩陣分解已經成為統計學的核心技術(Banerjee和Roy, 2014;、優化(Gill et al., 2021)、機器學習(Goodfellow et al., 2016);而深度學習在很大程度上是由於反向傳播算法在擬合神經網絡和低秩神經網絡在高效深度學習中的發展。本調查的唯一目的是對數值線性代數和矩陣分析中的概念和數學工具進行一個完整的介紹,以便在後續章節中無縫地介紹矩陣分解技術及其應用。然而,我們清楚地認識到,我們無法涵蓋所有關於矩陣分解的有用和有趣的結果,並且給出了這種討論的範圍的缺乏,例如,歐氏空間、厄米特空間和希爾伯特空間的分離分析。我們建議讀者參考線性代數領域的文獻,以獲得相關領域的更詳細介紹。一些優秀的例子包括(Householder, 2006; Trefethen and Bau III, 1997; Strang, 2009; Stewart, 2000; Gentle, 2007; Higham, 2002; Quarteroni et al., 2010; Golub and Van Loan, 2013; Beck, 2017; Gallier and Quaintance, 2017; Boyd and Vandenberghe, 2018; Strang, 2019; van de Geijn and Myers, 2020; Strang, 2021)。最重要的是,本綜述將隻涵蓋矩陣分解方法存在性的緊湊證明。關於如何降低計算複雜度,在各種應用和例子中進行嚴格的討論,為什麼每種矩陣分解方法在實踐中都很重要,以及張量分解的初步研究,請參見(Lu, 2021c)。

矩陣分解是將一個複雜的矩陣分解成其組成部分的一種方法,這些組成部分的形式更簡單。全局矩陣計算方法的基本原則是,它不是業務矩陣的algorithmists解決特定的問題,但這是一個方法,可以簡化更複雜的矩陣運算,可以進行分解的部分而不是原始矩陣本身。

矩陣分解算法可以分為許多類。盡管如此,六個類別占據了中心,我們在這裏概括一下:

  1. 由高斯消去產生的因子分解包括LU分解和它的正定替代- Cholesky分解;
  2. 將矩陣的列或行正交化時得到的因式分解,使數據可以用標準正交基很好地解釋; 3.分解矩陣的骨架,使列或行的一個子集可以在一個小的重構誤差中表示整個數據,同時,矩陣的稀疏性和非負性保持原樣;
  3. 化簡為Hessenberg、三對角或雙對角形式,結果是,矩陣的性質可以在這些化簡矩陣中探索,如秩、特征值等;
  4. 因式分解是計算矩陣特征值的結果;
  5. 特別地,其餘的可以被轉換為一種特殊的分解,其中涉及到優化方法和高級思想,其中類別可能無法直接確定。
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在線性代數的數學學科中,矩陣分解或矩陣分解是將一個矩陣分解成一個矩陣的乘積。有許多不同的矩陣分解;每種方法都適用於特定的一類問題。

這本書的目的是提供一個從零開始全麵的貝葉斯優化介紹,並細致闡述所有關鍵的想法。目標受眾是機器學習、統計和相關領域的研究生和研究人員。然而,我也希望來自其他領域的從業者和研究人員能在這裏找到一些用處。

https://bayesoptbook.com/

本書分為三個主要部分,包括:

  • 高斯過程建模的理論與實踐,
  • Bayesian方法用於序列決策
  • 實現切實有效的優化策略。

還包括一些其他的主題:

  • 理論收斂結果的概述,
  • 一項關於引人注目的擴展的調研,
  • 貝葉斯優化的全麵曆史
  • 應用的帶注釋的參考書目。

目錄內容: Introduction Gaussian Processes Modeling with Gaussian Processes Model Assessment, Selection, and Averaging Decision Theory for Optimization Utility Functions for Optimization Common Bayesian Optimization Policies Computing Policies with Gaussian Processes Implementation Theoretical Analysis Extensions and Related Settings A Brief History of Bayesian Optimization

引言概述

在機器學習的背景下,貝葉斯優化是一個古老的想法。盡管貝葉斯優化的曆史已經很長,但在過去的十年裏,它經曆了一段複興和快速發展的時期。這種複興的主要驅動力是計算方麵的進步,這使得貝葉斯建模和推理的工具越來越複雜。

這本書的目的是提供一個從零開始的全麵的貝葉斯優化介紹,並細致闡述所有的關鍵思想。這種自下而上的方法允許我們在貝葉斯優化算法中確定統一的主題,這些主題可能在以往的調研文獻時丟失。

這本書分為三個主要部分。第2-4章涵蓋了高斯過程建模的理論和實踐方麵。這類模型是貝葉斯優化文獻中最受歡迎的,其中包含的材料對接下來的幾章至關重要。

第5-7章介紹了序列決策理論及其在優化中的應用。雖然這個理論需要一個目標函數的模型和我們對它的觀察,介紹是不可知的模型的選擇,可以獨立地閱讀前幾章的高斯過程。這些內容是在第8-10章中介紹的,討論了使用高斯過程模型的貝葉斯優化的細節。第8-9章討論了計算和實現的細節,第10章討論了貝葉斯優化算法的理論性能界限,其中大多數結果密切依賴於目標函數的高斯過程模型或相關的重新生成核希爾伯特空間。

一些應用的細微差別需要修改基本序列優化方案(這是前幾章的重點),第11章介紹了對這一基本設置的幾個值得注意的擴展。每一個都是通過貝葉斯決策理論的統一視角係統地呈現出來的,以說明一個人在麵對新情況時應該如何處理。最後,第12章提供了一個簡單和獨立的貝葉斯曆史介紹。

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本教材介紹了線性代數的概念和技巧,為一年級或二年級的學生提供了高中代數的基本知識。課程內容有足夠的靈活性,既可以介紹傳統的入門課程,也可以提供更實用的課程。第1-4章為初學者提供一個學期的課程,而第5-9章為第二學期的課程(參見下麵的建議課程大綱)。這篇文章主要是關於在適當的時候提到複數的真實線性代數(在附錄A中複習)。總的來說,這篇文章的目的是在計算技能、理論和線性代數的應用之間取得平衡。微積分不是先決條件;提到它的地方可以省略。

線性代數在自然科學、工程、管理、社會科學以及數學中都有應用。因此,18個可選的“應用”部分包括在文本中介紹各種各樣的主題,如電力網絡,經濟模型,馬爾可夫鏈,線性遞歸,微分方程組,和有限域上的線性代碼。此外,還介紹了一些應用(例如線性動力係統和有向圖)。申請部分出現在相關章節的末尾,以鼓勵學生瀏覽。

https://math.emory.edu/~lchen41/teaching/2020_Fall/Nicholson-OpenLAWA-2019A.pdf

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摘要: 證據理論既能夠靈活處理不確定信息, 包括隨機性、模糊性、不準確性和不一致性, 又能夠有效融合定量信息和定性知識. 目前, 證據理論已廣泛應用於評估與決策等多個領域中, 包括多屬性決策分析、信息融合、模式識別和專家係統等. 本文從D-S證據理論出發, 針對Dempster組合規則存在的“反直覺”問題和組合爆炸, 主要圍繞置信分布理論係統地梳理了證據理論的發展過程, 總結分析了國內外典型文獻, 最後從實際應用對證據理論進行了簡要的評述和展望.

http://www.aas.net.cn/cn/article/doi/10.16383/j.aas.c190676

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這本教科書強調了代數和幾何之間的相互作用,以激發線性代數的研究。矩陣和線性變換被認為是同一枚硬幣的兩麵,它們的聯係激發了全書的探究。圍繞著這個界麵,作者提供了一個概念上的理解,數學是進一步的理論和應用的核心。繼續學習線性代數的第二門課程,您將會對《高等線性代數與矩陣代數》這本書有更深的了解。

從向量、矩陣和線性變換的介紹開始,這本書的重點是構建這些工具所代表的幾何直觀。線性係統提供了迄今為止看到的思想的強大應用,並導致子空間、線性獨立、基和秩的引入。然後研究集中在矩陣的代數性質,闡明了它們所代表的線性變換的幾何性質。行列式、特征值和特征向量都可以從這種幾何觀點中獲益。在整個過程中,“額外主題”部分以廣泛的思想和應用擴大了核心內容,從線性規劃,到冪迭代和線性遞歸關係。每個部分都有各種層次的練習,包括許多設計用來用電腦程序解決的練習。

這本書是從線性變換和矩陣本身都是有用的對象的角度寫的,但它是兩者之間的聯係,真正打開線性代數的魔法。有時候,當我們想知道一些關於線性變換的東西時,最簡單的方法就是找到一組基然後看對應的矩陣。相反,有許多有趣的矩陣和矩陣運算家族,它們似乎與線性變換無關,但卻可以解釋一些基無關對象的行為。

線性與矩陣代數導論是線性代數的理想入門證明課程。學生被假定已經完成了一到兩門大學水平的數學課程,盡管微積分不是明確的要求。教師將會感激有足夠的機會選擇符合每個教室需求的主題,並通過WeBWorK提供在線作業集。

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矩陣代數是數據分析和統計理論中最重要的數學領域之一。這本書的第一部分為統計中的應用提出矩陣代數的理論的相關方麵。本部分從向量和向量空間的基本概念開始,接著介紹矩陣的基本代數性質,然後描述向量和矩陣在多元演算中的解析性質,最後討論線性係統解和特征分析中矩陣的運算。這部分基本上是獨立的。

本書的第二部分開始考慮在統計中遇到的各種類型的矩陣,例如投影矩陣和正定矩陣,並描述這些矩陣的特殊性質。第二部分也介紹了矩陣理論在統計中的一些應用,包括線性模型、多元分析和隨機過程。本部分說明了在本書第一部分中發展的矩陣理論。書的前兩個部分可以作為為統計學生的矩陣代數課程的文本,或作為在線性模型或多元統計的各種課程的補充文本。

這本書的第三部分涵蓋了數值線性代數。它以數值計算的基礎討論開始,然後描述精確和有效的算法因式分解矩陣,求解線性方程組,並提取特征值和特征向量。雖然這本書沒有捆綁到任何特定的軟件係統,它描述並給出了使用數字線性代數的現代計算機軟件的例子。這部分基本上是自包含的,盡管它假設有一些能力用Fortran或C編程和/或使用R/S-Plus或Matlab的能力。書的這一部分可以作為在統計計算中的一門課程的文本使用,或者作為強調計算的各種課程的補充文本。

這本書包括大量的練習,並在附錄中提供了一些解決方案。

James E. Gentle是喬治梅森大學計算統計學教授。他是美國統計協會(ASA)和美國科學促進會的會員。他曾在美國標準局擔任過幾個國家職務並擔任過美國標準局期刊的副主編以及其他統計和計算期刊的副主編。他是隨機數生成和蒙特卡羅方法,第二版,和計算統計元素的作者。

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關於圖信號處理、圖分析、圖機器學習比較全麵的一本書,值得關注!

當前強大的計算機和龐大的數據集正在為計算數學創造新的機會,將圖論、機器學習和信號處理的概念和工具結合在一起,創建圖數據分析。

在離散數學中,圖僅僅是連接一些點(節點)和線的集合。這些圖表的強大之處在於,節點可以代表各種各樣的實體,比如社交網絡的用戶或金融市場數據,這些可以轉換成信號,然後使用數據分析工具進行分析。《圖數據分析》是對生成高級數據分析的全麵介紹,它允許我們超越時間和空間的標準常規采樣,以促進建模在許多重要領域,包括通信網絡,計算機科學,語言學,社會科學,生物學,物理學,化學,交通,城市規劃,金融係統,個人健康和許多其他。

作者從現代數據分析的角度重新審視了圖拓撲,並著手建立圖網絡的分類。在此基礎上,作者展示了頻譜分析如何引導最具挑戰性的機器學習任務,如聚類,以直觀和物理上有意義的方式執行。作者詳細介紹了圖數據分析的獨特方麵,例如它們在處理從不規則域獲取的數據方麵的好處,它們通過局部信息處理微調統計學習過程的能力,圖上的隨機信號和圖移位的概念,從圖上觀察的數據學習圖拓撲,以及與深度神經網絡、多路張量網絡和大數據的融合。包括了大量的例子,使概念更加具體,並促進對基本原則的更好理解。

本書以對數據分析的基礎有良好把握的讀者為對象,闡述了圖論的基本原理和新興的數學技術,用於分析在圖環境中獲得的各種數據。圖表上的數據分析將是一個有用的朋友和夥伴,所有參與數據收集和分析,無論應用領域。

地址:https://www.nowpublishers.com/article/Details/MAL-078-1

Graph Signal Processing Part I: Graphs, Graph Spectra, and Spectral Clustering

圖數據分析領域預示著,當我們處理數據類的信息處理時,模式將發生改變,這些數據類通常是在不規則但結構化的領域(社交網絡,各種特定的傳感器網絡)獲得的。然而,盡管曆史悠久,目前的方法大多關注於圖本身的優化,而不是直接推斷學習策略,如檢測、估計、統計和概率推理、從圖上獲取的信號和數據聚類和分離。為了填補這一空白,我們首先從數據分析的角度重新審視圖拓撲,並通過圖拓撲的線性代數形式(頂點、連接、指向性)建立圖網絡的分類。這作為圖的光譜分析的基礎,圖拉普拉斯矩陣和鄰接矩陣的特征值和特征向量被顯示出來,以傳達與圖拓撲和高階圖屬性相關的物理意義,如切割、步數、路徑和鄰域。通過一些精心選擇的例子,我們證明了圖的同構性使得基本屬性和描述符在數據分析過程中得以保留,即使是在圖頂點重新排序的情況下,在經典方法失敗的情況下也是如此。其次,為了說明對圖信號的估計策略,通過對圖的數學描述符的特征分析,以一般的方式介紹了圖的譜分析。最後,建立了基於圖譜表示(特征分析)的頂點聚類和圖分割框架,說明了圖在各種數據關聯任務中的作用。支持的例子展示了圖數據分析在建模結構和功能/語義推理中的前景。同時,第一部分是第二部分和第三部分的基礎,第二部分論述了對圖進行數據處理的理論、方法和應用,以及從數據中學習圖拓撲。

//www.webtourguide.com/paper/64f73fba1fafb627ee688a6feb117c15

Graph Signal Processing Part II: Processing and Analyzing Signals on Graphs

本專題第一部分的重點是圖的基本性質、圖的拓撲和圖的譜表示。第二部分從這些概念著手,以解決圍繞圖上的數據/信號處理的算法和實際問題,也就是說,重點是對圖上的確定性和隨機數據的分析和估計。

//www.webtourguide.com/paper/ee501d68e18f34725aca6097f575bdc8

Graph Signal Processing -- Part III: Machine Learning on Graphs, from Graph Topology to Applications

許多關於圖的現代數據分析應用都是在圖拓撲而不是先驗已知的領域上操作的,因此它的確定成為問題定義的一部分,而不是作為先驗知識來幫助問題解決。本部分探討了學習圖拓撲。隨著越來越多的圖神經網絡(GNN)和卷積圖網絡(GCN)的出現,我們也從圖信號濾波的角度綜述了GNN和卷積圖網絡的主要發展趨勢。接著討論了格結構圖的張量表示,並證明了張量(多維數據數組)是一類特殊的圖信號,圖的頂點位於高維規則格結構上。本部分以金融數據處理和地下交通網絡建模的兩個新興應用作為結論。

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線性代數是計算和數據科學家的基本工具之一。這本書“高級線性代數:基礎到前沿”(ALAFF)是一個替代傳統高級線性代數的計算研究生課程。重點是數值線性代數,研究理論、算法和計算機算法如何相互作用。這些材料通過將文本、視頻、練習和編程交織在一起來保持學習者的參與性。

我們在不同的設置中使用了這些材料。這是我們在德克薩斯大學奧斯汀分校名為“數值分析:線性代數”的課程的主要資源,該課程由計算機科學、數學、統計和數據科學、機械工程以及計算科學、工程和數學研究生課程提供。這門課程也通過UT-Austin計算機科學碩士在線課程提供“高級線性代數計算”。最後,它是edX平台上名為“高級線性代數:基礎到前沿”的大規模在線開放課程(MOOC)的基礎。我們希望其他人可以將ALAFF材料重新用於其他學習設置,無論是整體還是部分。

為了退怕學習者,我們采取了傳統的主題的數字線性代數課程,並組織成三部分。正交性,求解線性係統,以及代數特征值問題。

  • 第一部分:正交性探討了正交性(包括規範的處理、正交空間、奇異值分解(SVD)和解決線性最小二乘問題)。我們從這些主題開始,因為它們是其他課程的先決知識,學生們經常與高等線性代數並行(甚至在此之前)進行學習。

  • 第二部分:求解線性係統集中在所謂的直接和迭代方法,同時也引入了數值穩定性的概念,它量化和限定了在問題的原始陳述中引入的誤差和/或在計算機算法中發生的舍入如何影響計算的正確性。

  • 第三部分:代數特征值問題,重點是計算矩陣的特征值和特征向量的理論和實踐。這和對角化矩陣是密切相關的。推廣了求解特征值問題的實用算法,使其可以用於奇異值分解的計算。本部分和本課程以在現代計算機上執行矩陣計算時如何實現高性能的討論結束。

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本文是由Terence Parr 和Jeremy Howard撰寫的《深度學習的矩陣運算》論文。我們知道,深度學習是基於線性代數和微積分的,反向傳播也離不開求導和矩陣運算,因此了解深度學習內部的數學原理也至關重要。

1.介紹

2.向量演算和偏導簡介

3.矩陣演算

  • 雅可比定律

  • 多元微分

  • 向量

  • 鏈式法則

4.損失函數求導

5.矩陣演算參考

6.符號

7.資源鏈接

本文從簡單函數求導到多元函數求偏導,再到矩陣的微積分運算,逐層深入,引導我們探索深度學習背後的學習規則與數學基礎。本文試圖解釋理解深度神經網絡的訓練所需要的所有矩陣演算,本文適用於對神經網絡基礎有所了解的人,不過即使沒有數學基礎的同學也不要緊,作者提供了相關數學知識鏈接。在文末作者提供的參考部分,總結了這裏討論的所有關鍵矩陣演算規則和術語。

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斯坦福大學Stephen Boyd教授與加州大學Lieven Vandenberghe教授合著的應用線性代數導論:向量、矩陣和最小二乘法《Introduction to Applied Linear Algebra – Vectors, Matrices, and Least Squares》在2018年由劍橋大學出版社發行,開源書包含19章,473頁pdf,這本書的目的是提供一個介紹向量,矩陣,最小二乘方法,應用線性代數的基本主題。目標是讓學生通俗易懂,入門學習。讓學習者了解在包括數據擬合、機器學習和人工智能,斷層、導航、圖像處理、金融、和自動控製係統的應用。是一本不可多得好教材。

Stephen P. Boyd是斯坦福大學電子工程Samsung 教授,信息係統實驗室電子工程教授,斯坦福大學電子工程係係主任。他在管理科學與工程係和計算機科學係任職,是計算與數學工程研究所的成員。他目前的研究重點是凸優化在控製、信號處理、機器學習和金融方麵的應用。https://web.stanford.edu/~boyd/

Lieven Vandenberghe,美國加州大學洛杉磯分校電子與計算機工程係和數學係教授

這本書的目的是提供一個介紹向量,矩陣,最小二乘方法,應用線性代數的基本主題。我們的目標是讓很少或根本沒有接觸過線性代數的學生快速學習,以及對如何使用它們在許多應用程序中, 包括數據擬合、機器學習和人工智能, 斷層、導航、圖像處理、金融、和自動控製係統。

讀者所需要的背景知識是熟悉基本的數學符號。我們隻在少數地方使用微積分,但它並不是一個關鍵的角色,也不是一個嚴格的先決條件。雖然這本書涵蓋了許多傳統上作為概率和統計的一部分來教授的話題,比如如何將數學模型與數據相匹配,但它並不需要概率和統計方麵的知識或背景。

這本書涉及的數學比應用線性代數的典型文本還少。我們隻使用線性代數中的一個理論概念,線性無關,和一個計算工具,QR分解;我們處理大多數應用程序的方法隻依賴於一種方法,即最小二乘(或某種擴展)。從這個意義上說,我們的目標是知識經濟:僅用一些基本的數學思想、概念和方法,我們就涵蓋了許多應用。然而,我們所提供的數學是完整的,因為我們仔細地證明了每一個數學命題。然而,與大多數介紹性的線性代數文本不同,我們描述了許多應用程序,包括一些通常被認為是高級主題的應用程序,如文檔分類、控製、狀態估計和組合優化。

這本書分為三部分。第一部分向讀者介紹向量,以及各種向量運算和函數,如加法、內積、距離和角度。我們還將描述如何在應用程序中使用向量來表示文檔中的字數、時間序列、病人的屬性、產品的銷售、音軌、圖像或投資組合。第二部分對矩陣也做了同樣的處理,最終以矩陣的逆和求解線性方程的方法結束。第三部分,關於最小二乘,是回報,至少在應用方麵。我們展示了近似求解一組超定方程的簡單而自然的思想,以及對這一基本思想的一些擴展,可以用來解決許多實際問題。

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