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"> 北京大學《代數學方法 卷一:基礎架構》,443頁pdf開放書 - 專知VIP

本書不求建立一套自足的或者界限分明的體係, 何況按科研的普遍經驗, 如一味要 求萬事具備才敢開疆拓土, 結果往往是一事無成, 代數相關領域尤其如此. 閱讀過程中 難免會遇上新的或未夯實的知識點, “引而伸之, 觸類而長之” 興許是更合適的態度. 即 便如此, 在此仍有必要描繪一條模糊的底線. 保守估計, 本書期望讀者對大學數學專業 低年級課程有充分的掌握. 如果還修習過一學期的本科代數課程, 譬如 [59] 的前半部或 [55], 就應當能順利理解本書大部分的內容, 但這不是必需的. 至於具體情形自然得具體 分析, 既係於讀者個人的學思經曆, 也和膽識有關.

第一章: 集合論 讀者對集合應有基本的了解. 本書以集合論居首, 一則是尊重體 係的嚴整性, 二則是完整說明基數和 Zorn 引理的來龍去脈. 最後介紹的 Grothendieck 宇宙是應用範疇論時的必要安全措施. 大基數理論對一些高階的範疇論構造實屬必需, 我們希望在日後探討同調代數時予以闡明.

第二章: 範疇論基礎 本章完整介紹範疇論的基礎概念, 以範疇, 函子與自然變換 為中心, 著重探討極限與可表性. 為了說明這些觀念是自然的, 我們將自數學各領域中 博引例證.

第三章: 幺半範疇 這是帶有某種乘法操作的範疇. 幺半範疇在實踐與理論兩麵 占據要津, 因為它一方麵是向量空間張量積的提純, 同時又能用來定義範疇的 “充實” 化, 例如實用中常見的加性範疇. 前三章主要在觀念或體係上占據首位, 實際閱讀時不必循序. 建議初學者先迅速瀏覽, 並在後續章節中逐漸認識這些內容的必要性, 回頭加以鞏固. 毋須在初次閱讀時就強求 逐字逐句地理解: 這不是唯一的方法, 也不是最好的方法.

第四章: 群論 對幺半群和群的基本理論予以較完整的說明, 包括自由群的構造, 也一並介紹群的完備化. 後者自然地引向 pro-有限群的概念, 這是一類可以用拓撲語彙 來包裝的群論結構, 它對於 p-進數, 賦值和無窮 Galois 理論的研討是必需的.

第五章: 環論初步 考慮到後續內容的需要, 此章也涉及完備化及對稱多項式的 初步理論. 之所以稱為初步, 是為了區別於交換環論 (又稱交換代數) 與非交換環的進 階研究, 這些將在後續著作予以探討.

第六章: 模論 此章觸及模論的基本內容, 包括張量積. 向量空間和交換群則視作 模的特例. 我們還會初步探討複形, 正合列與同調群的觀念. 係統性的研究則是同調代 數的任務. 關於半單模, 不可分模與合成列的內容可以算是後續著作的鋪墊.

第七章: 代數初步 這裏所謂的 “代數” 是構築在模上的一種乘法結構, 雖然易生 混淆, 此詞的使用早已積重難返, 本書隻能概括承受. 本章還將針對代數引入整性的一般定義, 討論分次代數, 並以張量代數及衍生之外代數和對稱代數為根本實例, 這些也 是線性代數中較為深入的題材, 有時又叫作多重線性代數. 稱為初步同樣是為了區別於 代數的細部研究, 特別是非交換代數的表示理論, 那是另一個宏大主題.

第八章: 域擴張 擴域的研究構成了域論的一大特色, 這根植於解方程式的需求. 本書不回避無窮代數擴張和超越擴張, 但對於更精細的結構理論如 p-基等則暫予略過.

第九章: Galois 理論 有限擴域的 Galois 理論常被視為本科階段代數學的終點, 這還是在課時充足的前提下; 如此就容易給人一種似是而非的印象, 仿佛 Galois 理論的 要旨不外是解高次方程和尺規作圖. 本章包括這些應用, 但置無窮 Galois 理論於核心 位置, 因為在數論等應用中, 由可分閉包給出的絕對 Galois 群才是最根本的對象. 為了 闡述這點, 使用 pro-有限群的語言便是難免的.

第十章: 域的賦值 此章第一節是關於濾子與完備化的討論, 無妨暫時略過. 其後 介紹 Krull 賦值的一般概念, 取值容許在任意全序交換群上, 然後引入域上的賦值與絕 對值. 這些主題既可以看作代數的支脈, 也可以看作非 Archimedes 分析學的入門. 相 關思路現已彙入了數論, 幾何與動力係統的研究. 最後介紹的 Witt 向量則在算術幾何 的新近發展中承擔了吃重的角色.

對於抽象程度較高的部分, 正文將穿插若幹和理論主線無關, 然而饒富興味或 者曾發揮重要曆史功用的結果, 例子包括 Möbius 反演 (§5.4), Frobenius 定理 7.2.9, Grassmann 簇的 Plücker 嵌入 (§7.7) 和 Ostrowski 定理 10.4.6 等等. 本書不區分基礎內容與選學內容, 讀者在訂定閱讀順序時宜參酌各章開頭的介紹 和閱讀提示.

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這本教科書強調了代數和幾何之間的相互作用,以激發線性代數的研究。矩陣和線性變換被認為是同一枚硬幣的兩麵,它們的聯係激發了全書的探究。圍繞著這個界麵,作者提供了一個概念上的理解,數學是進一步的理論和應用的核心。繼續學習線性代數的第二門課程,您將會對《高等線性代數與矩陣代數》這本書有更深的了解。

從向量、矩陣和線性變換的介紹開始,這本書的重點是構建這些工具所代表的幾何直觀。線性係統提供了迄今為止看到的思想的強大應用,並導致子空間、線性獨立、基和秩的引入。然後研究集中在矩陣的代數性質,闡明了它們所代表的線性變換的幾何性質。行列式、特征值和特征向量都可以從這種幾何觀點中獲益。在整個過程中,“額外主題”部分以廣泛的思想和應用擴大了核心內容,從線性規劃,到冪迭代和線性遞歸關係。每個部分都有各種層次的練習,包括許多設計用來用電腦程序解決的練習。

這本書是從線性變換和矩陣本身都是有用的對象的角度寫的,但它是兩者之間的聯係,真正打開線性代數的魔法。有時候,當我們想知道一些關於線性變換的東西時,最簡單的方法就是找到一組基然後看對應的矩陣。相反,有許多有趣的矩陣和矩陣運算家族,它們似乎與線性變換無關,但卻可以解釋一些基無關對象的行為。

線性與矩陣代數導論是線性代數的理想入門證明課程。學生被假定已經完成了一到兩門大學水平的數學課程,盡管微積分不是明確的要求。教師將會感激有足夠的機會選擇符合每個教室需求的主題,並通過WeBWorK提供在線作業集。

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這本書的故事始於我被指派在佛羅裏達州立大學教授一門金融數學入門課程。最初,這門課的內容是測量理論、集成和隨機分析。然後,它發展到包括測度理論,一些概率論,二項模型中的期權定價。當我接手這門課程時,我不確定我要做什麼。然而,我的願景是在保留經典的風險管理材料的同時,教授學生一些新的金融數學主題。

這本書的前兩章隻要求微積分和概率論,可以教高年級本科生。在附錄的a .1和B節中也有對這些主題的簡要回顧。我在附錄中盡量簡短;許多書籍,包括金融隨機微積分I([27,28])和凸優化([8]),涵蓋了這些主題廣泛。第一章的主要目標是使讀者熟悉金融數學中風險管理的基本概念。所有這些概念首先是在一個相對非技術的一個時期框架,如馬科維茨投資組合多樣化或阿羅-德布魯市場模型。第二章將Arrow-Debreu市場模型的關鍵結果推廣到多周期情況,並介紹了多周期二項式模型及其數值方法。第3章討論了更高級的概率主題,這些主題將在附錄B和C部分的剩餘部分介紹。這一章更適合研究生。在第3.2節中,我們首先通過Bachelier模型建立了連續時間中重要的概念和計算方法。然後,我們在第3.3節中提供了更現實的Black-Scholes模型的概要。第四章討論了一種特定的金融衍生品的定價:美國期權。第4.0.1和4.1節可以在完成第2章後直接學習。本節的其餘部分需要理解第3.3節作為先決條件。

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現前這份書稿, 是計劃中的《代數學方法》卷二的一部分, 預估約占一半的內容. 除了缺少後續章節, 導言和每章開頭的閱讀提示或者極簡略, 或者付之闕如. 習題部分 也還相當貧乏. 這是一份不折不扣的半成品. 可以預期的是將有大量的筆誤和數學錯 誤. 現有的章節也可能在未來改動. 之所以公布這麼一份草稿, 主要是我相信它對讀者們是有益的, 讀者群體也應當是 廣泛的, 其次則是抵達下一個進度節點尚需時日, 最後, 我盼望各位的反饋能讓成品更 快更好地麵世.

很顯然, 《代數學方法》卷一覆蓋本書所需的全部代數知識. 由於卷一和此處使用 的都是標準術語, 通行的同類教材也應該能提供這些背景. 建議讀者先閱讀開頭的凡例 部分, 確認符號和慣例.

本卷的編寫精神大致上和卷一類似, 但由於處理的內容不同, 具體風格也有所改變. 這些差異隻能在未來的導言裏仔細解釋. 如同卷一, 本書並不鼓勵初學者循序閱讀, 除 非對抽象方法已經有充分高的接受度. 具體的閱讀須知將見於導言和每章開頭, 遺憾的 是這些內容隻有待全書定型後方能撰寫. 編撰過程中廣泛參考了各種相關著作, 一部分已在正文引用, 剩餘部分計劃待全書 完成後在導言部分列出, 並非有意遺漏, 敬請諒解. 當前內容大致相當於傳統上的同調代數, 這是本真意義的 “線性代數” 的一個真子 集. 從現代的觀點看, 前五章達到了一個勉強夠用的體係, 但即使作為經典同調代數的。

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本書是信息論領域中一本簡明易懂的教材。主要內容包括:熵、信源、信道容量、率失真、數據壓縮與編碼理論和複雜度理論等方麵的介紹。

本書還對網絡信息論和假設檢驗等進行了介紹,並且以賽馬模型為出發點,將對證券市場研究納入了信息論的框架,從新的視角給投資組合的研究帶來了全新的投資理念和研究技巧。

本書適合作為電子工程、統計學以及電信方麵的高年級本科生和研究生的信息論基礎教程教材,也可供研究人員和專業人士參考。

本書是一本簡明易懂的信息論教材。正如愛因斯坦所說:“凡事應該盡可能使其簡單到不能再簡單為止。''雖然我們沒有深人考證過該引語的來源(據說最初是在幸運蛋卷中發現的),但我們自始至終都將這種觀點貫穿到本書的寫作中。信息論中的確有這樣一些關鍵的思想和技巧,一旦掌握了它們、不僅使信息論的主題簡明,而且在處理新問題時提供重要的直覺。本書來自使用了十多年的信息論講義,原講義是信息論課程的高年級本科生和一年級研究生兩學期用的教材。本書打算作為通信理論.計算機科學和統計學專業學生學習信息論的教材。

信息論中有兩個簡明要點。第一,熵與互信息這樣的特殊量是為了解答基本問題而產生的。例如,熵是隨機變量的最小描述複雜度,互信息是度量在噪聲背景下的通信速率。另外,我們在以後還會提到,互信息相當於已知邊信息條件下財富雙倍的增長。第二,回答信息理論問邀的答案具有自然的代數結構。例如,熵具有鏈式法則,因而,謫和互信息也是相關的。因此,數據壓縮和通信中的問題得到廣泛的解釋。我們都有這樣的感受,當研究某個問題時,往往曆經大量的代數運算推理得到了結果,但此時沒有真正了解問題的全莪,最終是通過反複觀察結果,才對整個問題有完整、明確的認識。所以,對一個問題的全麵理解,不是靠推理,而是靠對結果的觀察。要更具體地說明這一點,物理學中的牛頓三大定律和薛定諤波動方程也許是最合適的例子。誰曾預見過薛定諤波動方程後來會有如此令人敬畏的哲學解釋呢?

在本書中,我們常會在著眼於問題之前,先了解一下答案的性質。比如第2章中,我們定義熵、相對熵和互信息,研究它們之間的關係,再對這些關係作一點解釋·由此揭示如何融會貫通地使用各式各樣的方法解決實際問題。同理,我們順便探討熱力學第二定律的含義。熵總是增加嗎?答案既肯定也否定。這種結果會令專家感興趣,但初學者或i午認為這是必然的而不會深人考慮。

在實際教學中.教師往往會加人一自己的見解。事實上,尋找無人知道的證明或者有所創新的結果是一件很愉快的事情。如果有人將新的思想和已經證明的內容在課堂上講解給學生,那麼不僅學生會積極反饋“對,對,對六而且會大大地提升教授該課程的樂崆我們正是這樣從研究本教材的許多新想法中獲得樂趣的。

本書加人的新素材實例包括信息論與博弈之間的關係,馬爾可夫鏈背景下熱力學第二定律的普遍性問題,信道容量定理的聯合典型性證明,赫夫曼碼的競爭最優性,以及關於最大熵譜密度估計的伯格(回定理的證明。科爾莫戈羅夫複雜度這一章也是本書的獨到之處。麵將費希爾信息,互信息、中心極限定理以及布倫一閔可夫斯基不等式與熵冪不等式聯係在一起,也是我們引以為豪之處。令我們感到驚訝的是.關於行列式不等式的許多經典結論,當利用信息論不等式後會很容易得到證明。

自從香農的奠基性論文麵世以來,盡管信息論已有了相當大的發展,但我們還是要努力強調它的連貫性。雖然香農創立信息論時受到通信理論中的問題啟發,然而我們認為信息論是一門獨立的學科,可應用於通信理論和統計學中。我們將信息論作為一個學科領域從通信理論、概率論和統計學的背景中獨立出來因為明顯不可能從這些學科中獲得難以理解的信息概念。由於本書中絕大多數結論以定理和證明的形式給出,所以,我們期望通過對這些定理的巧妙證明能說明這些結論的完美性。一般來講,我們在介紹問題之前先描述回題的解的性質,而這些很有的性質會使接下來的證明順理成章。

使用不等式串、中間不加任何文字、最後直接加以解釋,是我們在表述方式上的一項創新希望讀者學習我們所給的證明過程達到一定數量時,在沒有任何解釋的情況下就能理解其中的大部分步,並自己給出所需的解釋這些不等式串好比模擬到試題,讀者可以通過它們確認自己是否已掌握證明那些重要定理的必備知識。這些證明過程的自然流程是如此引人注目,以至於導致我們輕視了寫作技巧中的某條重要原則。由於沒有多餘的話,因而突出了思路的邏輯性與主題思想u我們希望當讀者閱讀完本書後,能夠與我們共同分亨我們所推崇的,具有優美、簡潔和自然風格的信息論。

本書廣泛使用弱的典型序列的方法,此概念可以追溯到香農1948年的創造性工作,而它真正得到發展是在20世紀70年代初期。其中的主要思想就是所謂的漸近均分性(AEP),或許可以粗略地說成“幾乎一切事情都是等可能的"

第2章闡述了熵、相對熵和互信息之同的基本代數關係。漸近均分性是第3章重中之重的內容,這也使我們將隨機過程和數據壓縮的熵率分別放在第4章和第5章中論述。第6章介紹博弈,研究了數據壓縮的對偶性和財富的增長率。可作為對信息論進行理性思考基礎的科爾莫戈羅夫複雜度,擁有著巨大的成果,放在第14章中論述。我們的目標是尋找一個通用的最矩描述,而不是平均意義下的次佳描述。的確存在這樣的普遍性概念用來刻畫一個對象的複雜度。該章也論述了神奇數0,揭示數學上的不少奧秘,是圖靈機停止運轉概率的推廣。第7章論述信道容量定理。第8章敘述微分熵的必需知識,它們是將早期容量定理推廣到連續噪聲信道的基礎。基本的高斯信道容量問題在第9章中論述。第il章闡述信息論和統計學之間的關係,20世紀年代初期庫爾貝克首次對此進行了研究,此後相對被忽視。由於率失真理論比無噪聲數據壓縮理論需要更多的背景知識,因而將其放置在正文中比較靠後的第10章。

網絡信息理論是個大的主題,安排在第巧章,主要研究的是噪聲和幹擾存在情形下的同時可達的信息流。有許多新的思想在網絡信息理論中開始活躍起來,其主要新要素有幹擾和反饋第16章講述股票市場,這是第6章所討論的博弈的推廣,也再次表明了信息論和博弈之間的緊密聯係。第17章講述信息論中的不等式,我們借此一隅把散布於全書中的有趣不等式重新收攏在一個新的框架中,再加上一些關於隨機抽取子集熵率的有趣新不等式。集合和的體積的布倫一閔可夫斯基不等式,獨立隨機變量之和的有效方差的熵冪不等式以及費希爾信息不等式之間的美妙關係也將在此章中得到詳盡的闡述。

本書力求推理嚴密,因此對數學的要求相當高·要求讀者至少學過一學期的概率論課程且有紮實的數學背景,大致為本科高年級或研究生一年級水平。盡管如此,我們還是努力避免使用測度論。因為了解它隻對第16章中的遍曆過程的AEP的證明過程起到簡化作用。這符合我們的觀點,那就是信息論基礎與技巧不同,後者才需要將所有推廣都寫進去。

本書的主體是第2,3,4,5,7,8,9,10,11和巧章,它們自成體係,讀懂了它們就可以對信息論有很好的理解。但在我們看來,第14章的科爾莫戈羅夫複雜度是深人理解信息論所需的必備知識。餘下的幾章,從博弈到不等式.目的是使主題更加連貫和完美。

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有很多關於傅裏葉變換的書; 然而,很少有麵向多學科讀者的。為工程師寫一本關於代數概念的書是一個真正的挑戰,即使不是太難的事,也要比寫一本關於理論應用的代數書更有挑戰性。這就是本書試圖麵對的挑戰。因此,每個讀者都能夠創建一個“按菜單”的程序,並從語句或計算機程序中提取特定元素,以建立他們在該領域的知識,或將其運用於更具體的問題。

本文敘述是非常詳細的。讀者可能偶爾需要一些關於有限組的高級概念,以及對組行為的熟悉程度。我強調了那些重要的定義和符號。例如,從多個角度(交換群、信號處理、非交換群)研究卷積的概念,每次都要放在它的背景知識中。因此,不同的段落,雖然遵循一個邏輯遞進,有一個真正的統一,但可以根據自己需要選取閱讀。

第一章用群論的語言來解釋主要概念,並解釋後麵將用到的符號。第二章將所得結果應用於各種問題,並首次接觸快速算法(例如Walsh 變換)。第三章對離散傅裏葉變換進行了闡述。第四章介紹了離散傅裏葉變換的各種應用,並構成了對前一章的必要補充,以充分理解所涉及的機製以及在實際情況中使用。第五章圍繞傅裏葉變換提出了更多新穎的思想和算法,產生了大量的應用。第六章需要一些更高級的知識,特別是對有限場理論的一些熟悉。它研究了有限域中的值變換,並給出了在校正碼中的應用。最後兩章(最困難的一章),具有更多的代數性質,並建議推廣已經在有限非交換群的情況下進行的構造。第七章揭示了線性表示的理論。第八章和最後一章將這一理論應用於理論(群的簡潔性研究)和實際(光譜分析)領域。

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本書圍繞虛擬化、並發和持久性這三個主要概念展開,介紹了所有現代係統的主要組件(包括調度、虛擬內存管理、磁盤和I/O子係統、文件係統)。全書共50章,分為3個部分,分別講述虛擬化、並發和持久性的相關內容。作者以對話形式引入所介紹的主題概念,行文詼諧幽默卻又鞭辟入裏,力求幫助讀者理解操作係統中虛擬化、並發和持久性的原理。本書內容全麵,並給出了真實可運行的代碼(而非偽代碼),還提供了相應的練習,很適合高等院校相關專業的教師開展教學和高校學生進行自學。

本書具有以下特色:

  • 主題突出,緊緊圍繞操作係統的三大主題元素——虛擬化、並發和持久性。
  • 以對話的方式引入背景,提出問題,進而闡釋原理,啟發動手實踐。
  • 包含眾多“補充”和“提示”,拓展讀者知識麵,增加趣味性。
  • 使用真實代碼而不是偽代碼,讓讀者更加深入透徹地了解操作係統。
  • 提供作業、模擬和項目等眾多學習方式,鼓勵讀者動手實踐。
  • 為教師提供教學輔助資源。

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作者:王東,利節,許莎 出版社:清華大學 出版時間:2019-10 ISBN: 978-7-302-53187-6 最新消息:本書配套課件免費公開,詳見鏈接。 地址:

http://cslt.riit.tsinghua.edu.cn/news.php?title=News-2020-02-09

作者序 2016年以來,幾乎所有人都在談論人工智能,上至專家巨富,下至平民百姓。然而, 究竟什麼是人工智能?人工智能與傳統科學有何區別和聯係?人工智能的曆史沿革和 未來方向?這些問題在很多人腦海裏還是模糊的。唯一可以確定的是,人工智能 技術必然會對我們的生活產生深遠的影響,這種影響會象蒸汽機、電、計算機的出現對我們的影 響一樣,成為我們未來生活的一部分。

我是學計算機出身,自1998年以來主要從事語音和語言信號處理工作。這個領域 當然是人工智能的一部分,但絕大多數時候研究者們很少提到AI。原因有很多, 對我而言也許是對歸類法的執著,AI的範圍太廣了,當麵帶微笑和別人說` 我是做 AI的'總會有一種心虛的感覺。這種感覺應該是很多一線研究者的潛意識。

僅管對AI這個頭銜有天然排斥,我們和這個古老而年輕的領域依然脫不了幹係, 因此當然希望更多年輕人加入到AI研究隊伍中來,特別是從方法論的角度去理解AI, 避免概念上的炒作和空洞化。

基於這一思路,我用了將近兩年時間完成了一本題為《現代機器學習技術導論》的學習筆記[link], 恰好被利節老師看到。她提出建議:這本書應該讓更多年輕人看到,但當前這個版本是不行的, 需要更通俗和直觀的表達。這個建議得到重慶巴蜀中學許莎老師的讚同,她覺得 應該有一本通俗的讀物,讓高中生甚至初中生理解人工智能,在不增加日常學習 壓力的前提下,滿足他們對新知識的渴求,從一開始就樹立一個正確的概念體係 和科學根基,為以後從事這方麵的工作打下基礎。

於是有了這本書。我們的目的隻有一個:用淺顯的的語言向年輕人 介紹什麼是人工智能,包括:人工智能有哪些主流技術,這些技術從何處來,到哪裏去。特別重要的是, 我們希望提供一係列小實驗,讓學生可以自己動手實現一些有趣的人工智能係統, 培養出這一方麵的興趣,那就很好了。

在本書的成書過程中,眾多老師和學生提供了熱心幫助。清華大學的朱小燕老師對全書進行了審讀, 周強老師、劉華平老師分別對第四章和第五章進行了審讀。清華大學語音語言實驗室 的蔡雲麒博士參與了校訂工作,實習生杜文強、張陽、吳嘉瑤、齊詔娣、於嘉威、 薑修齊、劉逸博、汪洋等參與了實驗樣例設計。最後,清華出版社的劉翰鵬老師在本 書出版過程中付出了大量心血,在此一並致謝!

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本書概述了現代數據科學重要的數學和數值基礎。特別是,它涵蓋了信號和圖像處理(傅立葉、小波及其在去噪和壓縮方麵的應用)、成像科學(反問題、稀疏性、壓縮感知)和機器學習(線性回歸、邏輯分類、深度學習)的基礎知識。重點是對方法學工具(特別是線性算子、非線性逼近、凸優化、最優傳輸)的數學上合理的闡述,以及如何將它們映射到高效的計算算法。

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它應該作為數據科學的數字導覽的數學伴侶,它展示了Matlab/Python/Julia/R對這裏所涵蓋的所有概念的詳細實現。

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