蒙特卡羅方法(或蒙特卡羅實驗)是一類依賴於重複隨機抽樣來獲得數值結果的廣泛的計算算法。他們的基本思想是利用隨機性來解決原則上可能是確定性的問題。它們通常用於物理和數學問題,在難以或不可能使用其他方法時最有用。蒙特卡羅方法主要用於三種不同的問題類別:優化、數值積分和概率分布生成。在與物理相關的問題中,蒙特卡羅方法對於模擬具有許多耦合自由度的係統非常有用,例如流體、無序材料、強耦合固體和細胞結構(見細胞波茨模型、相互作用粒子係統、麥肯-弗拉索夫過程、氣體動力學模型)。其他例子包括在輸入中具有重大不確定性的建模現象,如商業風險的計算,以及在數學中對具有複雜邊界條件的多維定積分的評估。在應用於空間和石油勘探問題中,基於蒙特卡羅的失敗、成本超支和計劃超支的預測通常比人類直覺或替代的“軟”方法更好。理論上,蒙特卡羅方法可以用來解決任何具有概率解釋的問題。根據大數定律,由某個隨機變量的期望值所描述的積分可以通過取該變量的獨立樣本的經驗均值(又稱樣本均值)來近似。當參數化變量的概率分布時,數學家通常使用馬爾可夫鏈蒙特卡洛采樣器。其核心思想是設計一個具有規定的平穩概率分布的明智的馬爾可夫鏈模型。利用遍曆定理,用MCMC采樣器隨機狀態的經驗測度逼近平穩分布。在其他問題中,目標是從滿足非線性演化方程的概率分布序列中生成結果。這些概率分布流總是可以被解釋為馬爾可夫過程的隨機狀態的分布,其轉移概率取決於當前隨機狀態的分布(見McKean-Vlasov過程,非線性濾波方程)。在其他情況下,我們得到一個采樣複雜度不斷增加的概率分布流(路徑空間模型隨時間範圍的增加,與溫度參數降低相關的波爾茲曼-吉布斯測量,以及許多其他的)。這些模型也可以看作是非線性馬爾可夫鏈隨機狀態定律的演化。模擬這些複雜的非線性馬爾可夫過程的一種自然方法是對該過程的大量副本進行抽樣,用抽樣的經驗測度代替演化方程中隨機狀態的未知分布。與傳統的蒙特卡羅和馬爾可夫鏈蒙特卡羅方法相比,這些平均場粒子技術依賴於序列相互作用的樣本。術語意指場反映了每個樣本(即粒子、個體、行者、代理、生物或表型)與過程的經驗測量相互作用的事實。當係統規模趨於無窮大時,這些隨機經驗測度收斂於非線性馬爾可夫鏈隨機狀態的確定性分布,從而使粒子間的統計相互作用消失。
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