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本書不求建立一套自足的或者界限分明的體係, 何況按科研的普遍經驗, 如一味要 求萬事具備才敢開疆拓土, 結果往往是一事無成, 代數相關領域尤其如此. 閱讀過程中 難免會遇上新的或未夯實的知識點, “引而伸之, 觸類而長之” 興許是更合適的態度. 即 便如此, 在此仍有必要描繪一條模糊的底線. 保守估計, 本書期望讀者對大學數學專業 低年級課程有充分的掌握. 如果還修習過一學期的本科代數課程, 譬如 [59] 的前半部或 [55], 就應當能順利理解本書大部分的內容, 但這不是必需的. 至於具體情形自然得具體 分析, 既係於讀者個人的學思經曆, 也和膽識有關.

第一章: 集合論 讀者對集合應有基本的了解. 本書以集合論居首, 一則是尊重體 係的嚴整性, 二則是完整說明基數和 Zorn 引理的來龍去脈. 最後介紹的 Grothendieck 宇宙是應用範疇論時的必要安全措施. 大基數理論對一些高階的範疇論構造實屬必需, 我們希望在日後探討同調代數時予以闡明.

第二章: 範疇論基礎 本章完整介紹範疇論的基礎概念, 以範疇, 函子與自然變換 為中心, 著重探討極限與可表性. 為了說明這些觀念是自然的, 我們將自數學各領域中 博引例證.

第三章: 幺半範疇 這是帶有某種乘法操作的範疇. 幺半範疇在實踐與理論兩麵 占據要津, 因為它一方麵是向量空間張量積的提純, 同時又能用來定義範疇的 “充實” 化, 例如實用中常見的加性範疇. 前三章主要在觀念或體係上占據首位, 實際閱讀時不必循序. 建議初學者先迅速瀏覽, 並在後續章節中逐漸認識這些內容的必要性, 回頭加以鞏固. 毋須在初次閱讀時就強求 逐字逐句地理解: 這不是唯一的方法, 也不是最好的方法.

第四章: 群論 對幺半群和群的基本理論予以較完整的說明, 包括自由群的構造, 也一並介紹群的完備化. 後者自然地引向 pro-有限群的概念, 這是一類可以用拓撲語彙 來包裝的群論結構, 它對於 p-進數, 賦值和無窮 Galois 理論的研討是必需的.

第五章: 環論初步 考慮到後續內容的需要, 此章也涉及完備化及對稱多項式的 初步理論. 之所以稱為初步, 是為了區別於交換環論 (又稱交換代數) 與非交換環的進 階研究, 這些將在後續著作予以探討.

第六章: 模論 此章觸及模論的基本內容, 包括張量積. 向量空間和交換群則視作 模的特例. 我們還會初步探討複形, 正合列與同調群的觀念. 係統性的研究則是同調代 數的任務. 關於半單模, 不可分模與合成列的內容可以算是後續著作的鋪墊.

第七章: 代數初步 這裏所謂的 “代數” 是構築在模上的一種乘法結構, 雖然易生 混淆, 此詞的使用早已積重難返, 本書隻能概括承受. 本章還將針對代數引入整性的一般定義, 討論分次代數, 並以張量代數及衍生之外代數和對稱代數為根本實例, 這些也 是線性代數中較為深入的題材, 有時又叫作多重線性代數. 稱為初步同樣是為了區別於 代數的細部研究, 特別是非交換代數的表示理論, 那是另一個宏大主題.

第八章: 域擴張 擴域的研究構成了域論的一大特色, 這根植於解方程式的需求. 本書不回避無窮代數擴張和超越擴張, 但對於更精細的結構理論如 p-基等則暫予略過.

第九章: Galois 理論 有限擴域的 Galois 理論常被視為本科階段代數學的終點, 這還是在課時充足的前提下; 如此就容易給人一種似是而非的印象, 仿佛 Galois 理論的 要旨不外是解高次方程和尺規作圖. 本章包括這些應用, 但置無窮 Galois 理論於核心 位置, 因為在數論等應用中, 由可分閉包給出的絕對 Galois 群才是最根本的對象. 為了 闡述這點, 使用 pro-有限群的語言便是難免的.

第十章: 域的賦值 此章第一節是關於濾子與完備化的討論, 無妨暫時略過. 其後 介紹 Krull 賦值的一般概念, 取值容許在任意全序交換群上, 然後引入域上的賦值與絕 對值. 這些主題既可以看作代數的支脈, 也可以看作非 Archimedes 分析學的入門. 相 關思路現已彙入了數論, 幾何與動力係統的研究. 最後介紹的 Witt 向量則在算術幾何 的新近發展中承擔了吃重的角色.

對於抽象程度較高的部分, 正文將穿插若幹和理論主線無關, 然而饒富興味或 者曾發揮重要曆史功用的結果, 例子包括 Möbius 反演 (§5.4), Frobenius 定理 7.2.9, Grassmann 簇的 Plücker 嵌入 (§7.7) 和 Ostrowski 定理 10.4.6 等等. 本書不區分基礎內容與選學內容, 讀者在訂定閱讀順序時宜參酌各章開頭的介紹 和閱讀提示.

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